Нестандартний аналіз і фрактал числових систем - комплементарная медицина
додаток 5
НЕСТАНДАРТНИЙ АНАЛІЗ І фрактал числових СИСТЕМ
У цій монографії постійно використовуються, з одного боку, ідея фрактальної організації простору-часу, з іншого - рейхенбаховскій варіант співвідношення невизначеностей Гейзенберга, заснований на поняттях нестандартного аналізу. Багато математичні аспекти таких підходів до сих пір розглядалися як інтуїтивно очевидні. Однак насправді все не настільки просто. Адже в математиці на сьогоднішній день відсутні як цілком задовільний визначення фрактала, так і розвинене уявлення про топологічної природі нестандартного аналізу. І, як ми спробуємо показати нижче, найбільш перспективною виглядає спроба комплексного, спільного підходу до з`ясування цих двох питань.
Поза власне математики, як відомо [358, 427], фрактал зазвичай визначають як просторову структуру, яка залишається самоподобной при зміні масштабу. Привабливість такого визначення полягає в тому, що воно прямо вказує на структурно-алгоритмічний інваріант межуровневого переходу - відношення подібності. У той же час у вихідній формі це визначення виявляється явно недостатнім навіть для багатьох детермінованих фракталів, не кажучи вже про стохастичних. При такому підході за межами розгляду виявляються великі класи як чисто математичних конструкцій, так і природних об`єктів і процесів, до яких насправді можна і навіть необхідно застосувати саме фрактальное опис.
Разом з тим в деяких власне математичних роботах по теорії фракталів [358] останні визначаються як об`єкти, для яких розмірність Хаусдорфа - Безиковича не збігається з топологічної розмірністю dim. Це визначення, безсумнівно, більш строго і широко, ніж перше. Однак і воно не позбавлене принципових недоліків. По-перше, воно не є конструктивним, тобто не містить явної вказівки на фундаментальне властивість фрактальних структур - їх ієрархічність. Тим більше відсутні в ньому будь-які вказівки на існування деякого структурноалгорітміческого інваріанта. По-друге, воно занадто широко. Справді, розбіжність зазначених розмірностей на одному з рівнів досліджуваної структури аж ніяк не може розглядатися як ознака фрактальності всієї структури в цілому. По-третє, як зазначено [358], обчислити розмірність Хаусдорфа - Безиковича для конкретної конструкції - справа вкрай непроста, нерідко вимагає багаторічних досліджень.
Як же допомогти справі? Повернемося до першого визначення. Легко бачити, що воно засноване на зв`язку трьох ключових понять: &ldquo-простір&rdquo-, &ldquo-відношення подібності&rdquo- і &ldquo-масштаб&rdquo-. У свою чергу, в цій трійці центральне місце займає &ldquo-відношення подібності&rdquo-. Цілком логічно спробувати отримати задовільний визначення фрактала, варіюючи визначення зазначених вище ключових понять. Наприклад, центральне поняття &ldquo-відношення подібності&rdquo- можна в найбільш загальному вигляді визначити як деякий структурноалгорітміческій інваріант. Далі, масштаб (масштабний рівень структури) логічно представити таким чином.
Відзначимо для початку, що масштабні рівні будь-якої структури повинні бути діз`юнктни - в іншому випадку їх виділення позбавлене сенсу. В силу узагальненого критерію збіжності Коші, діз`юнктность рівнів може бути забезпечена лише в тому випадку, якщо їх безліч не більше ніж лічильно, хоча при цьому кожен рівень може характеризуватися будь-якій потужністю безлічі елементів. Отже, масштабним рівнями будь-якої структури можуть бути приписані натуральні індекси і, тим самим, на їх безлічі визначено ставлення сусідства (сусідніми будемо називати рівні, індекси яких розрізняються на 1). Тоді масштабний рівень структури (масштаб) можна визначити як одну з не більше ніж рахункового безлічі підструктур, таку, що серед подалгорітма побудови структури існує хоча б один, не інваріантний щодо відображення даної підструктури в (на) будь-яку з двох їй сусідніх.
Нарешті, поняття &ldquo-простір&rdquo- цілком задовільно визначено в загальній топології.
Таким чином, в якості задовільного визначення фрактала будемо розглядати перше з наведених в даному додатку, але за умови, що його ключові поняття визначено так, як описано вище &rsquo-. Зокрема, цілком допустима наступна заміна: &ldquo-простір&rdquo- -gt; &ldquo-числове поле&rdquo-- &ldquo-відношення подібності&rdquo- &ldquo-операція підстановки на безлічі кардинальних чисел&rdquo-- &ldquo-масштаб&rdquo- -gt; &ldquo-потужність&rdquo-. Провівши таку заміну, ми отримуємо ясні вказівки на безпосередній зв`язок між теорією фракталів і нестандартним аналізом. Цей зв`язок може бути продемонстрована на прикладі вводиться нижче конструкції фрактала числових систем (ФЧС).
Топологія нестандартного аналізу
Починаючи з робіт основоположників нестандартного аналізу, загальноприйнятим вважається думка, що &ldquo -... нестандартний аналіз не претендує на отримання принципово нових результатів: всі результати, отримані його методами, можуть бути доведені і звичними засобами&rdquo- [362, с. 4]. Далі пояснюється, що нестандартний аналіз є не більше (але й не менше!) Ніж логічний прийом, що дозволяє коротко і ясно провести міркування, що мають абсолютно &ldquo-нелегкотравний&rdquo- вид (але тим не менш принципово здійсненні) в звичайному аналізі. Або ж, як висловився в особистій бесіді з автором цих рядків один колега, що &ldquo-за нестандартним аналізом не варто ніяка нова топологія&rdquo-. Але чи так це? Ледве.
Необхідно звернути увагу на цікавий клас фракталів, що задовольняють такому модифікованому визначенням. Якщо в якості структурно алгоритмічного інваріанта задати рекурентне співвідношення між індексом рівня структури і розмірністю (топологічної або фрактальної) цього рівня, то можна сконструювати нескінченний клас фракталів зі змінною розмірністю. Зокрема, можна вважати, що саме до таких конструкцій відноситься просторово-часової фрактал ПОЕФС-ТПФ. Про це свідчать як перехід в двовимірне простір при розгляді електромагнітного об`єднання, так і перехід в десятімерное простір при аналізі надтонких структур спектрів (див. Відповідно розд. 2.8.3 і Додаток 3 до гл. 3).
По-перше, не доводиться сумніватися в тому, що будь-яка логіка є топологія на безлічі елементарних висловлювань. Відповідно нова логіка є нова топологія. Крім того, в цитованій вище книзі В. А. Успенського [362] містяться приклади, які спростовують його ж твердження про топологічної тривіальності нестандартного аналізу. Такі, зокрема: а) твердження про неархімедовой поля гіпердействітельних чісел- б) зміст усього § 11, в першу чергу введення умови спрямованості для нестандартних аналогів відносин еквівалентності.
Ще більш важливі для предмета цієї монографії приклади топологічної нетривіальне ™ нестандартного аналізу може дати переформулировка визначень топологічної розмірності і розмірності Хаусдорфа - Безиковича. Ми змушені ввести ці модифікації дещо передчасно, до обговорення низки важливих властивостей ФЧС. Тому рекомендуємо читачеві повернутися до них, ознайомившись з даними Додатком в цілому.
Зокрема, індуктивна топологічна розмірність ind в нестандартній інтерпретації буде визначена так. Безліч Е має розмірність (п + 1), якщо воно не є безліччю розмірності ind lt; (Л + 1), а кожна його точка має як завгодно малу околиця, перетин кордону якої з безліччю Е на рівні (к) ФЧС має розмірність &lsquo-ind lt; .пі разом з тим розмірність ind п на рівнях (а gt; до + 1) структури ФЧС.
Аналогічно неважко переформулювати і визначення топологічної розмірності dim, визначеної за допомогою покриттів.
Зауваження. При використанні таких визначень зайві (з топологічної точки зору) введення в конструкцію фізичного простору формалізації елемента - принципу фізичного актуализма (див. Розд. 2.7).
Спробуємо тепер скласти уявлення про алгоритм побудови та властивості ФЧС. Детальний розгляд цього питання має скласти предмет спеціального дослідження. Тут же скористаємося можливістю, так би мовити, полукосвенного аналізу проблеми, тобто будемо розглядати не стільки властивості самого ФЧС, скільки особливості математики, що включає цю структуру. Перш за все з`ясуємо питання про співвідношення потужностей послідовних рівнів ФЧС. Справді, якби ці потужності виявилися однаковими, побудова ФЧС втратило б сенс.
Скориставшись умовою спрямованості [362] відносин еквівалентності між дійсними і гіпердейсгвітельнимі числами і поширивши його на всю ієрархію рівнів ФЧС, легко переконатися, що при проектуванні кожного даного рівня на сусідній нижчий проводиться процедура Кантора &ldquo-безліч всіх підмножин&rdquo-. Тому ясно, що потужність числових полів, складових рівні ФЧС, монотонно зростає разом з індексом рівня.
Ієрархічна відносність теоретико-множинних понять
Розглянемо два фундаментальних поняття: щільність і потужність.
густина
Зазвичай ми вважаємо, що безліч натуральних чисел не є щільним. Спрощено кажучи (але маючи на увазі очевидний для кожного математика переклад на строгий формальний мову), це означає, що між кожними двома сусідніми натуральними числами хоча і можна вставити принаймні одне число, але це вставлене число вже не буде натуральним. Далі, безлічі раціональних і дійсних чисел в стандартному аналізі всюди щільні. В нестандартному аналізі, проте, твердження про щільність цих множин було б помилкою. Справді, стверджується, що між будь-якими двома дійсними числами можна вставити ще хоча б одне число, яке також буде дійсним. Це означає тільки, що ніякі два дійсних числа не є сусідніми. Причому не в загальному випадку, а в припущенні, що будь-які два дійсних числа x, x + dx розрізняються на ненульову величину dx. У загальному ж випадку можна, як це робиться в нестандартному аналізі, приписати величиною dx і нульове значення, так що гіпердействітельние аналоги дійсних чисел х-х + cfx, де dx = О, виявляться сусідніми на дійсному підмножині гіпер- дійсної числової осі. Тому згадане твердження аж ніяк не означає, що між двома, спрощено кажучи, сусідніми дійсними числами не можна вставити хоч греблю гати чисел, які вже не будуть дійсними.
Якщо перенести ідею щільності множин раціональних і дійсних чисел на всю ієрархію потужностей числових систем, то щільним виявиться навіть безліч натуральних чисел. Справді, як уже згадувалося, між двома сусідніми натуральними числами не можна вставити жодного натурального числа, але можна вставити безліч чисел, що належать будь-якому з наступних вгору по ієрархії потужностей числових полів. Те ж має місце і на множині дійсних чисел в нестандартному аналізі. Взагалі, цілком очевидно, що будь-яке впорядкована множина є щільним щодо своїх власних елементів. І разом з тим, наскільки можна судити (але це поки лише гіпотеза), всяке впорядкована множина нещільно щодо невласних елементів, тобто &ldquo-приєднаних&rdquo- з його упорядкованого розширення.
потужність
При уважному розгляді це поняття виявляється настільки ж відносним, як і поняття &ldquo-щільність&rdquo-. Так, традиційно всяка нескінченна числова послідовність покладається рахунковим безліччю. Але це вірно лише до тих пір, поки ми вважаємо за свій обов`язок привласнювати членам послідовностей тільки натуральні індекси. Але, власне, чому тільки натуральні? Справді, якщо індексувати структурні рівні ФЧС так, як це зроблено в цьому Додатку, то немає ніяких перешкод для введення наступного визначення. У послідовності елементів рівня (а- а gt; 2) ФЧС індексами членів є послідовні (в сенсі нестандартного визначення сусідства, введеного в цьому Додатку) елементи рівня (а - 1) ФЧС.
При такій постановці питання можливі безлічі (послідовності) будь-якої потужності, елементами яких служать будь-які (в тому числі натуральні або раціональні, якщо допустити повтори членів) числа. Власне, в останньому твердженні немає нічого принципово нового. По суті, воно вже міститься в роботі Г. Кантора &ldquo-К обгрунтуванню вчення про трансфінітних множинах&rdquo-. Нашим же завданням в даному випадку є лише переломлення цієї ідеї через понятійний апарат нестандартного аналізу при побудові ФЧС.
У всякому разі не будемо забувати: як тільки ми приписуємо будь-якого об`єкта будь-яку вимірну характеристику, ми тим самим маємо на увазі наявність шкали значень цієї характеристики. Сказане повною мірою відноситься до потужності множин.
Деякі математичні додатки поняття фрактала числових систем
Узагальнена континуум-гіпотеза
Можна вважати, що узагальнена континуум-гіпотеза є прямим наслідком існування ФЧС. Справді, як уже було згадано, всякий фрактал характеризується наявністю не більше ніж рахункового безлічі структурно-ієрархічних рівнів, тобто рівнів з натуральними індексами, кожні два сусідніх серед яких відрізняються на одиницю.
Зауваження. Доцільно нижчий структурний рівень ФЧС характеризувати вищим індексом. Наприклад, безліч дійсних чисел буде мати індекс на одиницю вище індексу рахункового безлічі.
Такі індекси рівнів ФЧС легко зіставити індексам кардиналів числових систем. Таким чином, узагальнена контінуум- гіпотеза виявляється вірною вже з побудови ФЧС.
теорія чисел
Кожна з числових систем, що входять в ФЧС, забезпечена множенням і складанням, а також відповідно одиничним і нульовим елементами, тобто є, як мінімум, кільцем. Вихідний перший рівень структури є двоелементною кільце, що складається з нульового і одиничного елементів (якщо знехтувати невласних елементом 0). Доцільність такої побудови ясна вже з того, що потужність кожного з рівнів ФЧС повністю реалізується на сегменті [0,1]. Таким чином, структура ФЧС зводиться до фрактальної структурі сегмента [0,1].
Відповідно до цієї методологією представимо числову вісь як нескінченну коливається нитка з набором хвильових мод таким, що:
а) хвильові моди рівня (а + до -1) утворюють фіксовані вузли биття на рівні (а + к), якісь вузли і інтерпретуються як числа в числовий системі рівня (а + к) в ФЧС-
б) хвильові моди всіх рівнів структури ФЧС утворюють два стабільних вузла биття, інтерпретованих як числа 0 і 1 таким чином, на першому рівні структури ФЧС є лише одна (стояча) хвиля з вузлами в точках 0 і 1
в) прості числа є вузли таких хвильових мод, що описують їх функції не входять в ортонормированном систему функцій для Фур`є-розкладу моди [0, 1].
Очевидно, що така концепція відкриває принципово нові, і притому однакові, шляхи вирішення ряду теоретико-числових проблем, пов`язаних з пошуком на числової осі чисел із заданими властивостями.
